2023年7月，上海市长宁区人力资源和社会保障局执法大队接到劳动者黄某投诉，称A餐饮公司存在未按规定为其办理在职期间社会保险登记的行为。

经调查取证，A餐饮公司将厨房业务外包给了外省市B劳务公司，B劳务公司持有劳务派遣许可证且在上海市有分公司C公司。那么，黄某在职期间的社会保险登记应该由哪个公司负责呢？