图一:割圆术与圆面积公式证明

图二:刘徽原理的证明。⑴堑堵、⑵阳马、⑶鳖腝。

　　□　郭书春

　　◆刘徽发展了传统的率概念和齐同原理,指出它们是“算之纲纪”,至今对改革中小学数学教材有指导意义；在世界数学史上首创极限思想和无穷小分割方法并严格证明了《九章筭术》提出的圆面积公式和自己提出的刘徽原理,将多面体体积理论建立在无穷小分割之上；在中国首创求圆周率的科学方法,奠定了中国的圆周率近似值的计算领先世界千余年的基础；以演绎逻辑为主全面论证《九章筭术》的算法,奠定中国传统数学的理论基础,建立中国传统数学的理论体系。

　　中国古代最伟大的数学家不是祖冲之吗?怎么会是刘徽呢?

　　确实,祖冲之(429—500)是伟大的数学家。但是他的数学著作《缀术》由于隋唐最高数学学府算学馆的学官“莫能究其深奥”而失传了。他的主要数学贡献,我们无法了解。现在仅知道他的两项确切成就:一是将圆周率精确到8位有效数字,一是与他的儿子祖暅之完成的球体体积公式的推导。这两项成就都是运用刘徽提出的方法或建立理论基础而取得的。从数学的角度而言,这当然比祖冲之的现存贡献更重要。　

　　可是,在上世纪70年代末以前,中国数学史界对刘徽没有给予应有的重视,甚至没有达到日本学者30年代初的水平。其原因主要是刘徽《九章筭术注》十分难读,对其最重要的成就,中国人没有看懂。70年代末至90年代,国内外出现了研究《九章筭术》及其刘徽注的高潮,对刘徽的主要成就和思想,产生刘徽注这样划时代著作的社会背景基本上弄清楚了,同时对《九章筭术》的编纂、版本和校勘等问题也有重大进展,从而对刘徽有了全新的评价。

　　刘徽的主要数学贡献:发展了传统的率概念和齐同原理,指出它们是“算之纲纪”,至今对改革中小学数学教材有指导意义；在世界数学史上首创极限思想和无穷小分割方法并严格证明了《九章筭术》提出的圆面积公式和自己提出的刘徽原理,将多面体体积理论建立在无穷小分割之上；在中国首创求圆周率的科学方法,奠定了中国的圆周率近似值的计算领先世界千余年的基础；以演绎逻辑为主全面论证《九章筭术》的算法,奠定中国传统数学的理论基础,建立中国传统数学的理论体系。刘徽逻辑之严谨,所达到的高度,在中国古代无居其右者。中国科学院系统科学研究所于1985年10月举办现代数学讨论班,根据国际惯例都要以一位伟大的数学家冠名,许多学者主张称为祖冲之讨论班,吴文俊先生力排众议,主张以刘徽命名。吴先生认为,刘徽无可争议地是我国传统数学中唯一的代表人物。

　　刘徽生平不详。笔者根据《宋史·算学祀典》及有关史料推定,刘徽的籍贯是淄乡,属今山东邹平县。刘徽于魏景元四年(公元263年)撰《九章筭术注》,今年恰好是1750周年。国内外学者在山东邹平成功举办纪念刘徽与《九章筭术注》的国际学术研讨会。

　　关于《九章筭术》

　　为了解刘徽,首先简要介绍一下《九章筭术》。人们常把《九章筭术》说成是“一题、一答、一术”的应用问题集,这不符合《九章筭术》的实际情形。《九章筭术》的题、答、术的关系相当复杂,情况如下:

　　大部分内容是多题一术或一题一术,甚或多题多术。其中又有不同的情形:有的是先给出一个或几个例题,然后给出一条或几条抽象性术文,而例题中只有题目、答案,没有演算的术文；有的是先给出抽象的术文,再列出几个例题,例题只有题目、答案,亦没有演算细草；有的是先给出抽象性的总术,再给出若干例题,例题包含了题目、答案、术文三项。以上总共82术,196问,约占《九章筭术》全书的80%。尽管其表达方式有差异,却有几个共同特点:术文都非常抽象、严谨,具有普适性；术文占据中心位置,题目都是依附于术文的例题；术文具有构造性、机械化的特点。我们将之称为算法统率例题的形式。另有一少部分内容采取应用问题集的形式,确实是一题、一术、一答,共有50个题目。

　　这表明《九章筭术》不是一人一时编撰的,而是经过许多世代的积累而成的。现存资料中最准确也是最早谈到《九章筭术》编纂的是刘徽。他认为,《九章筭术》是由《周礼》“九数”发展起来的,在秦末战乱中散坏。西汉张苍(?—前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)搜集残简,加以删补,编定《九章筭术》。　

　　《九章筭术》分方田、粟米、衰分、少广、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。其分数四则运算法则、盈不足术、开方法则、线性方程组解法、正负数加减法则和各种解勾股形方法等一系列数学成就超世界其他各国几个世纪甚至上千年。《九章筭术》成书之时,正值古希腊数学越过其高峰,走向衰替之际。《九章筭术》的问世标志着中国及后来的印度、阿拉伯地区取代古希腊成为世界数学研究的重心,也标志着世界数学从以《几何原本》为代表的研究空间形式为主,转变为以研究数量关系为主,标志着数学机械化算法体系取代数学公理化演绎体系成为世界数学发展中的主流。《九章筭术》与《几何原本》像两颗璀璨的明珠,在古代的东西方辉映。

　　但是《九章筭术》也有不容忽视的缺点,这就是没有定义、推导和证明,分类亦不合理,有的内容与章名不相称。这就为刘徽在数学理论上做出贡献留下了空间。

　　刘徽及其《九章筭术注》

　　《九章筭术注》原十卷,第十卷“重差”系自撰,因第一问是测望一个海岛的高、远,后来以《海岛算经》为名单行。此海岛的原型可能是泰山。

　　由于《九章筭术注》比较完整地保存下来了,我们对刘徽了解得比较多。刘徽博览群书,精心研究了墨家、儒家、道家等先秦诸子和两汉学者的著作,深受思想界正始之音和辩难之风的影响,善于从其中汲取思想资料指导自己的数学研究。刘徽注《九章筭术》的宗旨是“析理以辞”,“析理”是辩难之风的要件。

　　一切从实际出发,“不有明据,辩之斯难”,是刘徽治学的重大特点。整个刘徽注言必有据,不讲空话。汉代盛行谶纬迷信,大科学家张衡也未能免俗,刘徽批评他是“欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣”。

　　刘徽认为人们的数学知识是不断进步的。《九章筭术》最迟在东汉已被官方奉为经典,刘徽为之作注,自然对之很推崇。但他并不妄从,指出了它若干不准确甚或错误之处。敢于创新,是刘徽治学的突出特点,《九章筭术注》的创新非常多。

　　刘徽具有不图虚名,敢于承认自己的不足,寄希望于后学的高尚品格。他对自己设计的牟合方盖,没能求出其体积,便老老实实地承认,表示“以俟能言者”。

　　刘徽主张灵活运用数学方法,指出不弄通数学原理,“徒按本术”,就像把琴瑟之弦的转柱胶住而要调节弦的音律。他常常在《九章筭术》的术文之外,提出另外的方法,或者对《九章筭术》的同一条术文,记下不同的思路,提出要“广异法”,也就是广开思路。

　　总之,刘徽深邃的思想方法和数学理论蕴含着对传统文化的深刻理解。他受嵇康(223—262)、王弼(226—249)等玄学名士的影响尤其大,我们由此推断,他大约生于公元3世纪20年代后期或稍后一点,撰《九章筭术注》时年约30岁上下。有的画家将正在注《九章筭术》的刘徽画成满脸皱纹的耄耋老人,有悖于魏晋的时代精神和特点。

　　割圆术与刘徽原理的证明

　　圆面积公式的证明及求圆周率程序。

　　刘徽的割圆术和圆周率是上世纪70年代末以前半个世纪中中国数学史界讨论最多的课题。可是很遗憾,所有的著述都忽视了割圆术的主旨——证明《九章筭术》的圆面积公式。

　　《九章筭术》提出圆面积公式:“术曰:半周半径相乘得积步。”刘徽使用极限思想和无穷小分割方法证明这个公式。他首先从圆内接正6边形开始割圆,逐步得到正12、24、48……边形。圆内接正多边形的面积当然都小于圆面积。但无限分割下去,到“不可割”的时候,圆内接正多边形就与圆完全“合体”。然后,刘徽说:“以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。”这是说,将与圆合体的正无穷多边形分割成以圆心为顶点,构成每边为底的无穷多个小等腰三角形,这些小等腰三角形的高与其底的乘积是其面积的2倍,将它们全部相加就是2个圆面积。而所有这些小等腰三角形的底边之和即是圆的周长,那么一个圆的面积就是圆周长的一半乘半径,便证明了《九章筭术》的圆面积公式。(如图一)

　　这无疑是一个严谨的证明。可是在上世纪70年代末以前,所有著述都忽视上面所引画龙点睛的几句话,不但没有认识到刘徽是在证明圆面积公式,反而将极限过程说成是为了求圆周率。实际上,计算圆周率不能求极限,只是极限思想在近似计算中的应用。

　　刘徽说《九章筭术》公式中的周、径,“谓至然之数”,这就是圆周率。刘徽仍从直径为2尺的圆的内接正6边形开始割圆,利用勾股定理,计算出各多边形的边长以及正192边形的面积的整数部分314寸2作为圆面积的近似值,代入刚刚证明了的圆面积公式,反求出圆周长的近似值6尺2寸8分。“令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五十”,相当于3.14。

　　刘徽原理。

　　近代数学大师高斯曾提出一个猜想:多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不是不可能的?这一猜想构成了著名的希尔伯特《数学问题》(1900年)第三问题的基础。实际上,早在高斯前1500多年,刘徽在证明刘徽原理时,就接触了高斯猜想和希尔伯特第三问题。

　　原来中国古代在多面体分割中,一个长方体沿相对两棱剖开,得到两个楔形体,叫做堑堵。一个堑堵从一个顶点到底面一边剖开,得到一个锥体,其高的垂足在底面的一角上,叫做阳马；剩下的是四面皆为勾股形的四面体,叫做鳖腝。为了证明《九章筭术》的阳马和鳖腝的体积公式,刘徽提出了一个重要原理:“邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖腝。阳马居二,鳖腝居一,不易之率也。”(如图二)刘徽使用极限思想和无穷小分割方法证明了这个原理。

　　刘徽原理是其多面体体积理论的基础,表明刘徽把多面体体积理论建立在无穷小分割基础上的思想,与现代数学的体积理论惊人地一致。

　　刘徽的逻辑思想和数学理论体系

　　学术界的主流看法是中国传统数学没有理论,主要是指没有演绎推理。事实上,只要读懂刘徽注就会发现,他在数学命题的证明中主要使用了演绎推理,其中有三段论、关系推理、假言推理、选言推理、联言推理、二难推理等演绎逻辑中最重要的推理形式。比如盈不足术刘徽注云:“注云若两设有分者,齐其子,同其母。此问两设俱见零分,故齐其子,同其母。”这个推理完全符合三段论第一格的AAA式的规则。

　　刘徽注中甚至还有数学归纳法的雏形。比如关于刘徽原理的证明。刘徽首先通过第一次分割证明了在整个堑堵的四分之三中阳马与鳖腝的体积之比为2比1。这相当于在n＝1时候,刘徽原理在堑堵的四分之三中成立。刘徽认为第一次分割可以无限递推,然后他说:“按余数具而可知者有一、二分之别,即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置余广、袤、高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其余弥细。至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉?”这相当于设n＝k时,刘徽原理成立,则当n＝k＋1时刘徽原理成立,那么在整个堑堵中刘徽原理是成立的。总之,刘徽注使用了演绎推理,因此刘徽注大部分是真正的数学证明。

　　人们常说《九章筭术》建立了中国古代的数学体系。这种提法似是而非。实际上《九章筭术》没有建立中国古代数学的理论体系,只是构筑了中国传统数学的基本框架。到刘徽完成《九章筭术注》,中国传统数学才形成了数学理论体系。这个体系不是《九章筭术》数学框架的简单继承和补充,而是对它的根本改造。

　　因此,我们认为,首先,刘徽是中国古代最伟大的数学家。除了祖冲之,宋元数学高潮的代表人物贾宪、李冶、秦九韶、朱世杰等在有的方面当然超过刘徽,在其数学知识之全面与创造性方面也与刘徽不分轩轾,但他们对极限思想和无穷小分割方法方面并无论述,在演绎逻辑和数学证明上也远逊于刘徽。而且他们比刘徽晚了七百到一千余年。第二,刘徽《九章筭术注》奠定了中国传统数学的理论基础,建立了中国传统数学的理论体系。刘徽注无论从数学的研究方向,还是理论高度,逻辑方法,都与《九章筭术》时代有明显的不同。第三,以刘徽《九章筭术注》为代表的魏晋南北朝数学为与春秋战国秦汉以《九章筭术》为代表的数学框架的确立、唐中叶至元中叶的筹算高潮并列为中国传统数学的三个高潮时期。

　　(作者系中国科学院自然科学史研究所研究员)